Содержимое материала:
Дата: __25-09-2018г._
Тема: Производная степенной функции.
Цели урока:
способствовать выработке навыка вычисления производной степенной функции;
воспитывать чувство уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей;
воспитывать аккуратность выполнения записей в тетради и на доске;
совершенствовать умения вычислять производные.
Ход урока.
I. Организационный момент.
Готовность класса к уроку. Сообщение цели урока.
II. Изучение нового материала.
Формула для вычисления производной степенной функции xn, где n — произвольное натуральное число, большее 1, такова:
(xn)’=nxn-1 (1)
Формула производной функции х2 уже известна: (х2)’ = 2х. Пользуясь формулой дифференцирования произведения, получаем:
(x3)’=( x2⋅x)’= (x2)’x+ x2(x)’= 2x⋅x + x2⋅1=3 x2;
(x4)’=( x3⋅x)’= (x3)’x+ x3(x)’= 3x2⋅x+ x3⋅1=4x3.
Заметим теперь, что
(x2)’=2x2-1, (x3)’=3x3-1, (x4)’=4x4-1,т.е. для n, равного 2, 3 и 4, формула (1) доказана. Продолжая аналогичные рассуждения, нетрудно убедиться в справедливости формулы (1) для n, равного 5, 6 и т. д.
Докажем, что формула (1) верна для любого натурального n4.
Допустим, что формула (1) верна при n = k, т. е. что (xk)’=kxk-1.
Покажем, что тогда формула (1) верна при n = k+1. Действительно,
(xk+1)’=(xk⋅x)’=( xk)’⋅x + xk⋅(x)’= kxk-1⋅x + xk = (k+1) xk
Поэтому из того, что формула (1) верна при п = 4, следует, что она верна и при n = 5, но тогда она верна и при п = 6, а следовательно, и при n = 7 и т. д. до любого n∈ N (строгое доказательство основано на методе математической индукции).
Если n = 1 или n = 0, то при х≠0 эта формула также справедлива. Действительно, по формуле (1) при х≠0
(x1)’=1⋅x1-1 = 1⋅x0 =1,
(x0)’=0⋅x0-1 = 0,что совпадает со значениями производных функций х и 1, уже известными из предыдущего пункта.
Пусть, наконец, п — целое отрицательное число, тогда n = —m, , где т — число натуральное. Применяя правило дифференцирования частного и пользуясь уже доказанной для натуральных т формулой (1), получаем при х≠0:
В результате можно сделать вывод:
Для любого целого n и любого x (x≠0 при n≤1)
(xn)’=nxn-1
Из дифференцируемости степенной функции и основных правил вычисления производных вытекает, что целые рациональные функции (многочлены) и дробно-рациональные функции дифференцируемы в каждой точке своей области определения.
III. Закрепление нового материала.
Пример 1
Вычислить производную функции y=6×100+7×50+8x.
Решение.
Применим правило суммы:
y′(x)=(6×100+7×50+8x)′=(6×100)′+(7×50)′+(8x)′.
Вынесем постоянные множители за знак производной:
y′(x)=6(x100)′+7(x50)′+8(x)′.
Найдем производные степенных функций:
y′(x)=6⋅100×99+7⋅50×49+8⋅1.
Окончательно получаем
y′(x)=600×99+350×49+8=2(300×99+175×49+4).
Пример 2
Вычислить производную функции y=(3√)2−52√.
Решение.
Производная постоянной величины равна нулю. Следовательно,
y′(x)=((3√)2−52√)′=((3√)2)′−(52√)′=0−0=0.
Пример 3
Найти производную функции y=1x+2×2+3×3.
Решение.
Дифференцируем сначала как сумму функций:
y′(x)=(1x+2×2+3×3)′=(1x)′+(2×2)′+(3×3)′.
Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем
y′(x)=(1x)′+2(1×2)′+3(1×3)′=(x−1)′+2(x−2)′+3(x−3)′=−1⋅x−2+2⋅(−2)x−3+3⋅(−3)x−4=−1×2−4×3−9×4.
Пример 4
Найти производную следующей функции y=8×5−6×4+5×3−7×2+4x+3.
Решение.
Используя правило дифференцирования полинома, получаем выражение для производной в виде
y′(x)=(8×5−6×4+5×3−7×2+4x+3)′=(8×5)′−(6×4)′+(5×3)′−(7×2)′+(4x)′+(3)′=8⋅5×4−6⋅4×3+5⋅3×2−7⋅2x+4⋅1+0=40×4−24×3+15×2−14x+4.
Пример 5
Найти производную функции y=x22+x33+x44.
Решение.
Производная записывается в виде:
y′(x)=(x22+x33+x44)′=(x22)′+(x33)′+(x44)′=12(x2)′+13(x3)′+14(x4)′=12⋅2x+13⋅3×2+14⋅4×3=x+x2+x3=x(x2+x+1).
Пример 6
Найти производную функции y=x22−2×2.
Решение.
Производная имеет следующий вид:
y′(x)=(x22−2×2)′=(x22)′−(2×2)′=12(x2)′−2(1×2)′=12(x2)′−2(x−2)′=12⋅2x−2⋅(−2)x−3=x+4x−3=x+4×3.
Пример 7
Вычислить значение производной функции y=x2−12×2 в точке x=1.
Решение.
Производная данной функции имеет вид:
y′(x)=(x2−12×2)′=(x2)′−(12×2)′=(x2)′−12(x−2)′=2x−12⋅(−2)x−3=2x+1×3.
Значение производной в точке x=1 равно:
y′(1)=2⋅1+113=3.
Пример 8
Найти производную функции y=7√3x+3√7.
Решение.
Здесь мы имеем дело с линейной функцией, коэффициенты которой являются иррациональными числами. Производная будет равна
y′(x)=(7√3x+3√7)′=(7√3x)′+(3√7)′=7√3⋅1+0=7√3.
Пример 9
Найти производную функции y=x3−−√4.
Решение.
Представив данную иррациональную функцию как степенную, получаем:
y′(x)=(x3−−√4)′=(x34)′=34×34−1=34x−14=34x√4.
Пример 10
Найти производную иррациональной функции y=xn−−√m, где m≠0.
Решение.
Дифференцируя как степенную функцию с дробным показателем степени, получаем
y′(x)=(xn−−√m)′=(xnm)′=nmxn−mm=nmx−m−nm=nmxm−nm=nmxm−n−−−−√m.
Пример 11
Вычислить производную функции y=x2−−√π.
Решение.
Производная данной степенной функции равна
y′(x)=(x2−−√π)′=(x2π)′=2πx2π−1=2πx2−ππ=2πx−π−2π=2πxπ−2−−−−√π.
Пример 12
Найти производную следующей функции: y=x(x2+2)(x3−3).
Решение.
Данную функцию можно представить в виде полинома:
y=x(x2+2)(x3−3)=(x3+2x)(x3−3)=x6+2×4−3×3−6x.
Дифференцируя почленно, получаем:
y′(x)=(x6+2×4−3×3−6x)′=(x6)′+(2×4)′−(3×3)′−(6x)′=6×5+2⋅4×3−3⋅3×2−6=6×5+8×3−9×2−6.
Пример 13
Вычислить производную функции y=x5−−√+5x−−√.
Решение.
Перепишем функцию в виде:
y(x)=x5−−√+5x−−√=15√⋅x√+5√⋅1x√.
Используем формулу производной суммы двух функций:
y′(x)=(15√⋅x√+5√⋅1x√)′=(15√⋅x√)′+(5√⋅1x√)′.
Вынесем постоянные множители и вычислим производные:
y′(x)=(15√⋅x√)′+(5√⋅1x√)′=15√(x√)′+5√(1x√)′=15√(x√)′+5√(x−12)′=15√⋅12x√+5√⋅(−12)x−12−1=125√x√−5√2x−32.
Здесь мы использовали выражение (x√)′=(x12)′=12x−12=12x√. После упрощения получаем
y′(x)=125√x√−5√2x−32=125√x√−5√2×32=1⋅x25√x√⋅x−5√⋅5√2×32⋅5√=x−525√x32=x−525×3−−−√.
Пример 14
Найти производную функции y=x√3−1x√3.
Решение.
Перейдем к записи в степенной форме:
y=x√3−1x√3=x13−x−13.
Производная разности функций, очевидно, равна разности производных этих функций:
y′(x)=(x13−x−13)′=(x13)′−(x−13)′.
Вычисляя производные степенных функций, получаем
y′(x)=13×13−1−(−13)x−13−1=13x−23+13x−43=13(x−23+x−43)=13(1×23+1×43)=13(1×2−−√3+1×4−−√3).
Пример 15
Найти производную функции y=5×3+3−2×3+x5−−√3.
Решение.
Преобразуем слагаемые данной функции в степенную форму:
y=5×3+3−2x−3+x53.
Применяя линейные свойства производной и правило дифференцирования степенной функции, получаем:
y′(x)=(5×3+3−2x−3+x53)′=(5×3)′+3′−(2x−3)′+(x53)′=5⋅3×2+0−2⋅(−3)x−3−1+53×53−1=15×2+6x−4+53×23=15×2+6×4+5×2−−√33
Пример 16
Найти производную функции y=1x+1x√+1x√3.
Решение.
Представив слагаемые в виде степенных функций, получаем следуюшее выражение для производной:
y′(x)=(1x+1x√+1x√3)′=(1x)′+(1x√)′+(1x√3)′=−1×2−12x−12−1−13x−13−1=−1×2−12x−32−13x−43=−1×2−12×3−−√−13×4−−√3.
Пример 17
Вычислить производную функции y=2x√+3x√3.
Решение.
По правилу дифференцирования степенной функции находим:
y′(x)=(2x√+3x√3)′=(2x−12+3×13)′=(2x−12)′+(3×13)′=2(x−12)′+3(x13)′=2⋅(−12)x−12−1+3⋅13×13−1=−x−32+x−23=1×2−−√3−1×3−−√.
Пример 18
Найти производную иррациональной функции y=xx√−−−−√.
Решение.
Преобразуя функцию к степенной форме, получаем:
y′(x)=(xx√−−−−√)′=(x⋅x12−−−−−√)′=(x32−−−√)′=⎛⎝(x32)12⎞⎠′=(x34)′=34×34−1=34x−14=34x√4.
Пример 19
Найти производную следующей иррациональной функции y=xx2−−√3−−−−−√3.
Решение.
Аналогично предыдущему примеру, находим:
y′(x)=(xx2−−√3−−−−−√3)′=(x⋅x23−−−−−√3)′=(x53−−−√3)′=⎛⎝(x53)13⎞⎠′=(x53⋅13)′=(x59)′=59×59−1=59x−49=59×4−−√9.
Пример 20
Найти производную функции y=32xx√3.
Решение.
Дифференцируя заданную функцию как степенную, получаем:
y′(x)=(32xx√3)′=(32x⋅x13)′=32(x1+13)′=32(x43)′=32⋅43×43−1=2×13=2x√3.
Итоги урока.
